Беляев В.А.   Шапеев В.П.  

Варианты метода коллокации и наименьших невязок для решения бигармонического уравнения в неканонических областях

Докладчик: Беляев В.А.

Варианты метода коллокации и наименьших невязок для решения бигармонического уравнения в неканонических областях

Беляев В.А., Шапеев В.П.

Институт теоретической и прикладной механики СО РАН им. С.А. Христиановича,

Новосибирский государственный университет

Предложены и реализованы новые варианты метода коллокации и наименьших невязок (КНН) для численного решения краевых задач для бигармонического уравнения в неканонических областях. Дифференциальные задачи методом КНН проектировались в пространство полиномов четвертой степени. Граничные условия для приближенного решения выписывались точно на границе расчетной области Ω. В ячейках, которые пересекала граница, использованы «законтурные» точки коллокации и точки согласования решения задачи. Исследована обусловленность приближенных задач, полученных в разных вариантах метода. Показано влияние обусловленности на скорость сходимости итерационных процессов решения задач. Указаны сравнительные достоинства рассмотренных вариантов метода.

Предложенные варианты метода КНН применены для расчета напряжённо-деформированного состояния (НДС) изотропных пластин, имеющих различные формы и находящихся под действием поперечной нагрузки. НДС таких пластин описывается решением бигармонического уравнения

𝜕4𝜔(𝑥1,𝑥2)/𝜕4𝑥1+2𝜕4𝜔(𝑥1,𝑥2)/𝜕2𝑥1𝜕2𝑥2+𝜕4𝜔(𝑥1,𝑥2)/𝜕4𝑥2=𝑞(𝑥1,𝑥2)/𝐷, (𝑥1,𝑥2)∈Ω (1)

c соответствующими различными краевыми условиями. Здесь 𝜔(𝑥1,𝑥2) – прогиб срединной поверхности, 𝑞(𝑥1,𝑥2) – поперечная нагрузка, 𝐷 – жёсткость пластины при изгибе.

Численные эксперименты по сходимости построенного методом КНН приближенного решения различных задач для уравнения (1) проведены на последовательности сеток размеров 10×10, 20×20, 40×40, 80×80. Показано, что оно сходится с повышенным порядком. Также показано, что приближенное решение задачи с высокой точностью совпадает с ее аналитическим решением в случае, когда оно известно.


К списку докладов